PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

THRILIA RACHIANINGRUM

(35) XI IPS 2

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

 Garis Singgung

Sebuah garis disebut sebagai garis singgung kurva jika garis tersebut hanya memiliki satu titik persekutuan (titik singgung) dengan kurva. Karena garis singgung hanya memiliki satu titik persekutuan dengan kurva, maka untuk mendapatkan nilai kemiringannya dapat kita dekati dengan garis lain (garis secan) yang gradiennya dapat ditentukan secara langsung. 

 

Garis Normal

Garis normal merupakan garis yang melalui titik singgung dan tegak lurus dengan garis singgung.

Garis Singgung & Garis Normal

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

Persamaan Garis Singgung Kurva

 

Persamaan garis singgung kurva y = f(x) yang disinggung oleh sebuah garis di titik (x1,y1), maka gradien garis singgung tersebut adalah m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).

Contoh-contah variasi soal persamaan garis singgung kurva

Contoh 1

Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+2x$ dititik $(1,3)$ adalah ...

Jawab :
Titik singgung : (1, 3)

f(x) = x² + 2x  ⇒  f '(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
⇒ m = 4

PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

Contoh 2

Persamaan garis singgung kurva $y=2x-3x^2$ di titik dengan absis 2 adalah

Jawab :

Absis (x) = 2

y = 2x − 3x²

y = 2(2) − 3(2)²
y = −8

Titik singgung :  (2, −8)

f(x) = 2x − 3x²  ⇒  f '(x) = 2 − 6x

m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
⇒ m = −10

PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah

y − (−8) = −10(x − 2)

y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

Contoh 3

Persamaan garis singgung kurva $y=2\sqrt{x}$ di titik dengan ordinat 2 adalah

Jawab :
Ordinat (y) = 2
y  = 2√x
2 = 2√x
1 = √x
x = 1
Titik singgung : (1, 2)

f(x) = 2√x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$
m = f '(1) = $\frac{1}{\sqrt{1}}$
⇒ m = 1

PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
y − 2 = 1(x − 1)
y − 2 = x − 1
y = x + 1


Contoh 4
Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+5$ yang sejajar dengan garis $2x-y+3=0$ adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

2x − y + 3 = 0  ⇒  m₁ = 2

Sejajar : m₁ = m₂

⇒ m₂ = 2

f(x) = x² + 5   ⇒  f '(x) = 2x

m₂ = f '(x)

2 = 2x

x = 1

y = x² + 5

y = (1)² + 5
y = 6

Titik singgung : (1, 6)

PGS di titik (1, 6) dengan m₂ = 2 adalah

y − 6 = 2(x − 1)

y = 2x − 2 + 6
y = 2x + 4

Contoh 5

Persamaan garis singgung kurva $y=3-x^2$ yang tegak lurus terhadap garis $4y=x+1$ adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

4y = x + 1  ⇒  m₁ = $\frac{1}{4}$

Tegak lurus : m₁ . m₂ = −1
$\frac{1}{4}$ . m₂ = −1
⇒  m₂ = −4

f(x) = 3 − x²  ⇒  f '(x) = −2x

m₂ = f '(x)

−4 = −2x

x = 2

y = 3 − x²

y = 3 − (2)²
y = −1

Titik singgung : (2, −1)

PGS di titik (2, −1) dengan m₂ = −4 adalah 

y − (−1) = −4(x − 2)

y + 1 = −4x + 8
y = −4x + 7

Contoh 6

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{x}-2$ di titik potong kurva itu terhadap sumbu-x !

Jawab :

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0

y = √x − 2

0 = √x − 2

√x = 2

x = 4

Titik singgung : (4, 0)

f(x) = √x − 2  ⇒  $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

m = f '(4) = $\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$
⇒ m = $\frac{1}{4}$

PGS di titik (4, 0) dengan m = $\frac{1}{4}$ adalah  

y − 0 = $\frac{1}{4}$(x − 4)
y = $\frac{1}{4}$x − 1

Contoh 7

Tentukan persamaan garis normal kurva $y=x^2$ yang sejajar dengan garis $x+4y-5=0$ !

Jawab :

Garis normal adalah garis yang melalui titik singgung kurva dan tegak lurus terhadap garis singgung kurva di titik tersebut.

Misalkan :

m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung
m_n = gradien garis normal

x + 4y − 5 = 0 ⇒ m₁ = $-\frac{1}{4}$

Diketahui garis normal sejajar dengan garis x + 4y − 5 = 0, maka :

m_n = m
⇒ m_n = $-\frac{1}{4}$

Karena garis singgung dan garis normal saling tegak lurus, maka :

m_2 .m_n = −1

m_2 .$-\frac{1}{4}$ = −1

m₂ = 4

f(x) = x²  ⇒  f '(x) = 2x

m₂ = f '(x)

4 = 2x

x = 2

y = x²
y = (2)²
y = 4

Titik singgung : (2, 4)

Persamaan garis normal adalah persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dengan $m_n=-\frac{1}{4}$, yaitu :

y − 4 = $-\frac{1}{4}$(x − 2)
y − 4 = $-\frac{1}{4}$x + $\frac{1}{2}$

y = $-\frac{1}{4}$x + $\frac{9}{2}$ atau
x + 4y − 18 = 0

Contoh 8

Garis y = x memotong kurva $y=x^2-4x+4$ di titik P dan Q. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik potong tersebut !

Jawab :

Misalkan :

y₁ = x² − 4x + 4
y₂ = x

Titik potong P dan Q :

y₁ = y₂

x² − 4x + 4 = x

x² − 5x + 4 = 0

(x − 1)(x − 4) = 0

x = 1   x = 4

Substitusi x = 1 dan x = 4 ke persamaan kurva atau garis :

x = 1 ⇒ y = 1

x = 4 ⇒ y = 4
Titik potong : P(1, 1) dan Q(4, 4)

f(x) = x² − 4x + 4  ⇒  f '(x) = 2x − 4

m_P = f '(1) = 2(1) − 4 = −2
⇒ m_P = −2

m_Q = f '(4) = 2(4) − 4 = 4

⇒ m_Q = 4

PGS di titik P(1,1) dengan m_P = −2 adalah 

y − 1 = −2(x − 1)
y = −2x + 3

PGS di titik Q(4, 4) dengan m_Q = 4  adalah

y − 4 = 4(x − 4)
y = 4x − 12

Contoh 9

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^2-4x+6$ yang melalui titik $(2,1)$ !

Jawab :

Uji titik (2, 1)
y = x² − 4x + 6
1 = (2)² − 4(2) + 6
1 ≠ 2
Karena tidak memenuhi persamaan kurva, maka titik (2, 1) bukan titik singgung.

Cari titik singgung pada kurva sehingga garis singgungnya melalui titik (2, 1).
f(x) = x² − 4x + 6   ⇒  f '(x) = 2x − 4
m = f '(x)
⇒ m = 2x − 4

Persamaan garis di titik (2, 1) dengan $m=2x-4$ adalah

y − 1 = (2x − 4)(x − 2)

y − 1 = 2x² − 8x + 8
y = 2x² − 8x + 9

Substitusi persamaan diatas ke persamaan kurva :

2x² − 8x + 9 = x² − 4x + 6

x² − 4x + 3 = 0

(x − 1)(x − 3) = 0

x = 1   x = 3

x = 1 ⇒  y = (1)² − 4(1) + 6 = 3

x = 3 ⇒  y = (3)² − 4(3) + 6 = 3

Titik singgung : A(1, 3) dan B(3, 3)

f '(x) = 2x − 4

m_A = f '(1) = 2(1) − 4 = −2

⇒ m_A = −2
m_B = f '(3) = 2(3) − 4 = 2

⇒ m_B = 2

PGS di titik A(1, 3) dengan m_A = −2  adalah

y − 3 = −2(x − 1)
y = −2x + 5

PGS di titik B(3, 3) dengan m_B = 2 adalah

y − 3 = 2(x − 3)
y = 2x − 3

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik $(2,1)$ dan menyinggung kurva $y=x^2-4x+6$ adalah  $y=-2x+5$  dan $y=2x-3$

Contoh 10

Jika garis singgung pada kurva y = √x  di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !

Jawab :

m = tan 45° = 1

⇒ m = 1

f(x) = √x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

m = f '(x)

1 = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2√x = 1

√x = $\frac{1}{2}$

x = $\frac{1}{4}$

y = √x
y = $\sqrt{\frac{1}{4}}$
y = $\frac{1}{2}$

Titik singgung : P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

PGS di titik P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$ dengan $m=1$ adalah

y − $\frac{1}{2}$ = 1$\left(x-\frac{1}{4}\right)$
$y=x+\frac{1}{4}$   atau  4x − 4y + 1 = 0

Contoh 11

Garis k menyinggung kurva $y=x^2-4x-3+2a$ di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q $(8,2)$, tentukan nilai a !

Jawab :

Absis (x) = 4
y = x² − 4x − 3 + 2a
y = (4)² − 4(4) − 3 + 2a
y = 2a − 3

Titik singgung P(4, 2a − 3)

Cari gradien garis singgung k :

f(x) =  x² − 4x − 3 + 2a 

f '(x) = 2x − 4

m_k = f '(4) = 2(4) − 4
⇒ m_k = 4

Garis l tegak lurus garis k maka :

m_l . m_k = −1

m_l . 4 = −1

m_l = $-\frac{1}{4}$

Ingat :

Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :

⇔  m_l = $\frac{2-(2a-3)}{8-4}$

⇔  $-\frac{1}{4}$ = $\frac{5-2a}{4}$

⇔  −1 = 5 − 2a

⇔  2a = 6

⇔  a = 3

Contoh 12

Jika garis $x-2y=0$ menyinggung kurva $y=a-\frac{2}{x}$ dikuadran III, tentukan nilai a !

Jawab :

x − 2y = 0 ⇒ m = $\frac{1}{2}$

f(x) = a − $\frac{2}{x}$  ⇒  f '(x) = $\frac{2}{x^2}$

m =  f '(x)

$\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{x^2}$

x² = 4

x = ±2

Karena titik singgung terletak di kuadran III, maka x harus bernilai negatif.

⇒  x = −2

x − 2y = 0

−2 − 2y = 0

−2y = 2

y = −1

Titik singgung : (−2, −1)

Substitusi (−2, −1) ke persamaan kurva :

y = a − $\frac{2}{x}$

−1 = a − $\frac{2}{(-2)}$

−1 = a + 1
⇒ a = −2

Contoh 13

Garis $y=4x+1$ menyinggung kurva $y=a{x}^2+bx$ di titik dengan absis 2. Tentukan nilai $4a-b$ !

Jawab :

Absis (x) = 2 

y = 4x + 1

y =4(2) + 1
y = 9

Titik singgung : (2, 9)

Substitusi titik (2, 9) ke persamaan kurva :

y = ax² + bx

9 = a(2)² + b(2)

4a + 2b = 9 ...................................... (1)

y = 4x + 1  ⇒  m = 4

f(x) = ax² + bx   ⇒   f '(x) = 2ax + b

m = f '(2)

4 = 2a(2) + b

4a + b = 4  ....................................... (2)

Eliminasi (1) dan (2) :

4a + 2b = 9

4a + b = 4    _

4a + b = 5

Dari persamaan (2) :
4a + b = 4

4a + 5 = 4

4a = -1

Jadi, 4a - b = -1 - 5 = -6 

DAFTAR PUSTAKA 

https://smatika.blogspot.com/2016/04/persamaan-garis-singgung-kurva_6.html?m=1

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu4.html