JULY 27 , 2020

MATERI PEMBUKTIAN DENGAN METODE : LANGSUNG, TIDAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, DAN INDUKSI MATEMATIKA

Thrilia Rachianingrum

XI IPS 2

Di dalam LOGIKA MATEMATIKA terdapat metode pembuktian yaitu :

- Pembuktian Langsung

- Pembuktian Tidak Langsung

- Kontradiksi

- Induksi matematika

PEMBUKTIAN LANGSUNG

- Definisi Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GENAP jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga

n = 2k.

Contoh :

6 adalah genap, sebab terdapat 3 sehingga

6 = 2(3)

-4 adalah genap,sebab terdapat (-2) sehingga

-4 = 2(3)

- Definisi Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga

n = 2k + 1.

Contoh :

3 adalah ganjil, sebab terdapat 1 sehingga

3 = 2(1) + 1 -3 adalah ganjil, sebab terdapat (-2) sehingga

-3 = 2(-2) + 1

CONTOH SOAL

1. Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n 2 adalah ganjil.

Jawab : Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1.

Akan ditunjukkan bahwa n 2 ganjil.

n 2 = (2k + 1)2

= 4k 2 + 4k + 1

= 2(2k 2 + 2k) +1.

Perhatikan bahwa n 2 = 2(2k 2 + 2k) +1.

Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k 2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n 2 adalah ganjil.

2. Jika diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka buktikan bahwa mn adalah juga kuadrat sempurna.

Jawab : Misalkan m, n adalah kuadrat sempurna, artinya

m = k 2 , n = p 2 , untuk suatu k, p suatu bilangan bulat.

mn = (k2 )(p2 ) = (kp)2

Karena k, p

PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG

Pembuktian dengan Kontraposisi Ingat bahwa

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan salah satu prinsip dalam logika matematika yaitu

kontraposisi matematika

Artinya, kalau mau membuktikan pernyataan p akan menghasilkan pernyataan q itu benar, maka buktikan saja bila bukan q maka akan menghasilkan bukan p. Untuk memahami lebih lanjut coba deh buktikan

“Bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap, maka n bilangan ganjil”

Gimana nih membuktikannya pakai kontraposisi? Misalnya pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil). Coba deh lihat gambar di bawah.

Pembuktian Kontraposisi Matematika

Terbukti kan bila n bukan bilangan ganjil maka 7n + 9 juga bukan bilangan genap? Secara nggak langsung dapat disimpulkan deh bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap maka n bilangan ganjil hehe.

KONTRADIKSI

Kontradiksi ini juga termasuk pembuktian tidak langsung, Squad. Kita memanfaatkan logika matematika

Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah

Hmm gimana tuh maksudnya? Coba deh kita buktikan pernyataan ini dengan kontradiksi.

“Bila n bilangan bulat dan n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil”

Nah kita misalkan dulu pernyataan p adalah n bilangan genap dan pernyataan q adalah 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Maka dengan kontradiksi, kita buktikan nih misalnya pernyataan n bukan bilangan genap (bilangan ganjil) maka 7n + 9 adalah bilangan ganjil benar, akan muncul suatu kontradiksi. Coba deh perhatikan gambar di bawah.

Pembuktian Kontradiksi Matematika

Lihat kan ternyata ada kontradiksi bila n adalah bilangan ganjil? Maka secara tidak langsung, pernyataan bila n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil benar.

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk melakukan induksi matematika.

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + Jenis Induksi Matematika

Deret Bilangan

Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1)$ .

Langkah 1

untuk n = 1, maka :

$1 = \frac{1}{2}n(n + 1)$

$1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1)$

1 = 1

Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.

Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1)$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1)$

Pembuktiannya:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1)$ (dalam langkah 2, kedua ruas ditambah

k + 1)

$= \frac{1}{2}k (k + 1) +\frac{1}{2} [2(k + 1)]$ . (k + 1) dimodifikasi menyerupai $\frac{1}{2} k (k + 1)$ )

$= \frac{1}{2}[k(k + 1) + 2(k + 1)]$ (penyederhanaan)

$= \frac{1}{2}(k^2 + k + 2k + 2)$

$= \frac{1}{2}(k^2 + 3k + 2)$

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)(k + 2)$ (terbukti)

Bilangan bulat hasil pembagian

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa $5^{2n} + 3n - 1$ habis dibagi 9.

Langkah 1

untuk n = 1, maka: $5^{2n} + 3n - 1 = 5^{2(1)} + 3(1) - 1$

$=5^2 + 3 - 1$

= 27

27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.

Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka :

$5^{2n} + 3n -1 \overset {menjadi}{\rightarrow} 5^{2k} + 3k - 1$ (habis dibagi 9)

$5^{2k} + 3k - 1 =9b$ (b merupakah hasil bagi $5^{2k} + 3k - 1$ oleh 9)

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:

$5^{2(k + 1)} + 3(k + 1) - 1$

$= 5^{2k + 2} + 3k + 3 - 1$

$= 5^2 (5^2k) + 3k + 3 -1$

kemudian $(5^{2k})$ dimodifikasi dengan memasukan $5^{2k} + 3k - 1$ .

$= 25 (5^{2k} + 3k - 1) - 75k + 25 + 3k + 3 -1$

$= 25(5^{2k} + 3k -1) - 72k + 27$

$= 25 (9b) - 72k + 27$

$= 9 (25b - 8k + 3)$ … akan habis dibagi oleh 9 (terbukti)

Contoh Soal Induksi Matematika dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$ .

Pembahasan:

Langkah 1

$1^3 = \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 = \frac{2^2}{4}$

$1 = 1$ (terbukti)

Langkah 2 (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

Langkah 3 (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3$ (kedua ruas ditambah $(k + 1)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3= (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 = (k + 1)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$

$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)(k + 2)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ {terbukti).

Contoh Soal 2

Buktikan bahwa

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n + 2}{2^n}$

Pembahasan:

Langkah 1

$\frac{1}{2} = 2 - \frac{(1)+2}{2^1} = 2 - \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (terbukti)

Langkah 2 (n = k)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} = 2 - \frac{k + 2}{2^k}$

Langkah 3 (n = k + 1)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}}$

Dibuktikan dengan:

$= \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$ (kedua ruas dikali $\frac{k+1}{2^{k+1}}$ )