Senin, 05 April 2021

LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

Thrilia Rachianingrum                                                                                 Selasa, 06-04-2021
(35) XI IPS 2 


LUAS DAERAH

Misalkan y = fx berharga positif pada daerah latexaxb dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = fx dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah

luas1.png

Bila y = fx berharga negatif pada daerah latexaxb maka luas daerah yang dibatasi oleh y = fx dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah

Misalkan latexf(x)g(x) pada daerah latexaxb maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = fx dan y = gx adalah

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x

Jawab :

luas4.png

luas6.png

Contoh 2 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8

Jawab :

 

y = x2 ……… 1

y = x + 6 ……… 2

Dari 1 dan 2 didapat

x2 = x + 6

x2 – x – 6 = 0

x= 3 ; x2 = 2

Luas daerah,

latexL=(x+6x2)dx=12x2+6x13x323

Penggunaan Integral

Pada penjelasan sebelumnya integral dapat digunakan untuk mencari luas suatu bidang sebagai fungsi pada interval a \le x \le b  dan dibatasi sumbu x sebagaimana proses integral tentu. Lihat tabel berikut:


Jenis KegunaanBatasanLuas (A)Keterangan
Luas grafik
  •  Grafik f(x)
  •  a ≤ x ≤ b
  •  Sumbu x
A =\int^b_a f(x) dxLuas bidang berada pada:

  • Atas sumbu x, atau
  • Bawah sumbu x
Luas antara dua grafik
  •  Grafik f(x)
  •  Grafik g(x)
  •  a ≤ x ≤ b
A =\int^b_a f(x) - g(x) dxf(x) > g(x) pada selang a ≤ x ≤ b
Luas antara dua grafik dengan ordo maksimal 2
  •  Grafik f(x)
  •  Grafik g(x)
A = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2}Determinan (D) didapat dari f(x) = g(x) menjadi ax2 + bx + c = 0

Pada penggunaan lebih lanjut, integral dapat digunakan untuk mencari volume. Volume didapat dari suatu bidang yang mengelilingi/berputar pada suatu sumbu. Metode untuk menghitung volume benda putar adalah metode cakram dan metode kulit.

Metode Cakram

Jenis VolumeBatasan BidangSumbu PutarVolume
Volume Grafik
  •  Grafik f(x)
  •  a ≤ x ≤ b
  •  Sumbu x
Sumbu xV = \int^b_a \pi [f(x)]^2) dx
  •  Grafik f(y)
  •  a ≤ y ≤ b
  •  Sumbu y
Sumbu yV = \int^b_a \pi [f(y)]^2) dy
Volume Antara Dua Grafik
  •  Grafik f(x)
  •  Grafik g(x)
  •  a ≤ x ≤ b
Sumbu xV = \int^b_a [f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx
  •  Grafik f(y)
  •  Grafik g(y)
  •  a ≤ y ≤ b
Sumbu yV = \int^b_a [f(y)]^2 - [g(y)]^2) dy

Metode Kulit

Jenis VolumeBatasan BidangSumbu PutarVolume
Volume Grafik
  •  Grafik f(x)
  •  a ≤ x ≤ b
  •  Sumbu x
Sumbu yV = 2 \pi \int^b_a x \cdot f(x) dx
Volume Antara Dua Grafik
  •  Grafik f(x)
  •  Grafik g(x)
  •  a ≤ x ≤ b
Sumbu yV = 2 \pi \int^b_a x \cdot [f(x) - g(x)] dx


    Contoh Soal Integral Tentu, Penggunaan Integral, dan Pembahasan

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh 2 grafik yaitu grafik y = 2x^3 + x^2 - x - 1 dan grafik y = x^3 + 2x^2 - x - 1.

Pembahasan:

Kedua grafik dibuat persamaan f(x) – g(x) untuk mendapat titik potong:

2x^3 + x^2 - x - 1 = x^3 + 2x^2 + 5x  - 1

x^3 - x^2 - 6x = 0

(x+2)(x)(x-3) = 0

Akar-akarnya merupakan titik potong kedua grafik yaitu x = -2, x = 0, x = 3.

Maka luas grafik tersebut adalah:

A =\int^b_a f(x) - g(x) dx = \int^c_a f(x) - g(x) dx + \int^b_c f(x) - g(x) dx

Dengan a = -2, b = 3, dan c = 0, maka

A =\int^0_{-2} f(x) - g(x) dx = \int^0_{-2} x^3 - x^2 - 6x dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{6}{2}x^2]^0_{-2}

= 0 - (\frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{6}{2}(-2)^2)

= 0 - (\frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 12) = - (\frac{48 + 32 - 144}{12}) = \frac{64}{12}

A =\int^3_0 f(x) - g(x) dx = \int^3_0 x^3 - x^2 - 6x dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{6}{2}x^2]^3_0

= (\frac{1}{4}(3)^4 - \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{6}{2}(3)^2) - 0 = \frac{81}{4} - 9 - 27 = - \frac{63}{4}

Nilai - \frac{63}{4} memiliki tanda (-) mengartikan pada interval 0 ≤ x ≤ 3 kurva g(x) > f(x), sehingga penulisan integran terbalik. Seharusnya: g(x) – f(x). Luas tidak mungkin (-) sehingga yang dijumlahkan adalah \frac{63}{4}. Sebagai berikut:

A = \int^c_a f(x) - g(x) dx + \int^b_c f(x) - g(x) dx = \frac{64}{12} + \frac{63}{4} = \frac{64 + 189}{12} = \frac{253}{12} = 21 \frac{1}{12}


DAFTAR PUSTAKA :
https://www.studiobelajar.com/integral-tentu-penggunaan-integral/
https://ilmuhitung.com/aplikasi-integral-menentukan-luas-dan-volume-suatu-daerah/

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Pendapat Siswa Terhadap Pembelajaran Daring

   Nama : Thrilia Rachianingrum Kelas : XI IPS 2 No. Absen : 35 Assalamu'alaikum Wr. Wb   Pandemi Wabah Covid 19 mengubah sistem pebelaj...