Thrilia Rachianingrum Selasa, 06-04-2021

(35) XI IPS 2

LUAS DAERAH

Misalkan y = f berharga positif pada daerah dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah

Bila y = f berharga negatif pada daerah maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah

Misalkan $l a t e x f (x) \geq g (x)$ pada daerah $l a t e x a \leq x \leq b$ maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f $x$ dan y = g $x$ adalah

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x

Jawab :

Contoh 2 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8

Jawab :

y = x2 ……… $1$

y = x + 6 ……… $2$

Dari $1$ dan $2$ didapat

x2 = x + 6

x2 – x – 6 = 0

x1 = 3 ; x2 = 2

Luas daerah,

$l a t e x L = \int (x + 6 - x^{2}) d x = \frac{1}{2} x^{2} + 6 x - \frac{1}{3} x^{3} ∣_{- 2}^{3}$

$l a t e x = (\frac{9}{2} + 18 - 9) - (2 - 12 + \frac{8}{3}) = 21 \frac{1}{2}$

Penggunaan Integral

Pada penjelasan sebelumnya integral dapat digunakan untuk mencari luas suatu bidang sebagai fungsi pada interval $a \le x \le b$ dan dibatasi sumbu x sebagaimana proses integral tentu. Lihat tabel berikut:

Jenis Kegunaan	Batasan	Luas (A)	Keterangan
Luas grafik	Grafik f(x) a ≤ x ≤ b Sumbu x	$A =\int^b_a f(x) dx$	Luas bidang berada pada: Atas sumbu x, atau Bawah sumbu x
Luas antara dua grafik	Grafik f(x) Grafik g(x) a ≤ x ≤ b	$A =\int^b_a f(x) - g(x) dx$	f(x) > g(x) pada selang a ≤ x ≤ b
Luas antara dua grafik dengan ordo maksimal 2	Grafik f(x) Grafik g(x)	$A = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2}$	Determinan (D) didapat dari f(x) = g(x) menjadi ax2 + bx + c = 0

Pada penggunaan lebih lanjut, integral dapat digunakan untuk mencari volume. Volume didapat dari suatu bidang yang mengelilingi/berputar pada suatu sumbu. Metode untuk menghitung volume benda putar adalah metode cakram dan metode kulit.

Metode Cakram

Jenis Volume	Batasan Bidang	Sumbu Putar	Volume
Volume Grafik	Grafik f(x) a ≤ x ≤ b Sumbu x	Sumbu x	V = $\int^b_a \pi [f(x)]^2) dx$
Volume Grafik	Grafik f(y) a ≤ y ≤ b Sumbu y	Sumbu y	V = $\int^b_a \pi [f(y)]^2) dy$
Volume Antara Dua Grafik	Grafik f(x) Grafik g(x) a ≤ x ≤ b	Sumbu x	V = $\int^b_a [f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx$
Volume Antara Dua Grafik	Grafik f(y) Grafik g(y) a ≤ y ≤ b	Sumbu y	V = $\int^b_a [f(y)]^2 - [g(y)]^2) dy$

Metode Kulit

Jenis Volume	Batasan Bidang	Sumbu Putar	Volume
Volume Grafik	Grafik f(x) a ≤ x ≤ b Sumbu x	Sumbu y	V = $2 \pi \int^b_a x \cdot f(x) dx$
Volume Antara Dua Grafik	Grafik f(x) Grafik g(x) a ≤ x ≤ b	Sumbu y	V = $2 \pi \int^b_a x \cdot [f(x) - g(x)] dx$

Contoh Soal Integral Tentu, Penggunaan Integral, dan Pembahasan

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh 2 grafik yaitu grafik $y = 2x^3 + x^2 - x - 1$ dan grafik $y = x^3 + 2x^2 - x - 1$ .

Pembahasan:

Kedua grafik dibuat persamaan f(x) – g(x) untuk mendapat titik potong:

$2x^3 + x^2 - x - 1 = x^3 + 2x^2 + 5x - 1$

$x^3 - x^2 - 6x = 0$

$(x+2)(x)(x-3) = 0$

Akar-akarnya merupakan titik potong kedua grafik yaitu x = -2, x = 0, x = 3.

Maka luas grafik tersebut adalah:

$A =\int^b_a f(x) - g(x) dx$ = $\int^c_a f(x) - g(x) dx + \int^b_c f(x) - g(x) dx$

Dengan a = -2, b = 3, dan c = 0, maka

$A =\int^0_{-2} f(x) - g(x) dx = \int^0_{-2} x^3 - x^2 - 6x dx$ = $[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{6}{2}x^2]^0_{-2}$

$= 0 - (\frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{6}{2}(-2)^2)$

$= 0 - (\frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 12)$ = $- (\frac{48 + 32 - 144}{12}) = \frac{64}{12}$

$A =\int^3_0 f(x) - g(x) dx = \int^3_0 x^3 - x^2 - 6x dx$ = $[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{6}{2}x^2]^3_0$

$= (\frac{1}{4}(3)^4 - \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{6}{2}(3)^2) - 0$ = $\frac{81}{4} - 9 - 27 = - \frac{63}{4}$

Nilai $- \frac{63}{4}$ memiliki tanda (-) mengartikan pada interval 0 ≤ x ≤ 3 kurva g(x) > f(x), sehingga penulisan integran terbalik. Seharusnya: g(x) – f(x). Luas tidak mungkin (-) sehingga yang dijumlahkan adalah $\frac{63}{4}$ . Sebagai berikut: