SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Thrilia Rachianingrum                                                                             Selasa,16-03-2021

(35) XI IPS 2

SOAL - SOAL YANG  BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

1. Diketahui biaya produksi barang sebuah perusahaan dinyatakan dalam fungsi f(x) = 8x² – 120x. Kemudian harga jual tiap barang dinyatakan dalam f(x) = 1/3 x² – 10x + 200. x menyatakan jumlah barang. Maka, untuk mencapai keuntungan maksimum, jumlah barang yang harus diproduksi adalah sebanyak…

a. 16 atau 20 

b. 17 atau 20

c. 10 atau 20

d. 25 atau 30

e. 16 atau 19

JAWABANNYA : a. 16 atau 20

Penyelesaian:

Biaya Produksi = 8x² – 120x

Harga Jual tiap barang = 1/3 x² – 10x + 200

Keuntungan = Harga Jual semua Barang  – Biaya Produksi

= (Jumlah Barang dikali Harga Jual tiap Barang) – Biaya Produksi

= x.(1/3 x² – 10x + 200) – (8x² – 120x)

= (1/3 x³ – 10x² + 200x) – (8x² – 120x)

= 1/3 x³ – 18x² + 320x

Untuk mencapai keuntungan maksimum, maka nilai stationernya = 0

f ‘ (x) = 0

x² -36x + 320 = 0

(x -16)(x – 20) = 0

x = 16 atau x = 20.

Jadi, jumlah barang yang harus dijual adalah 16 atau 20 buah.

2. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar 

$\left(9.000+1.000x+10x^2\right)$ rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahan tersebut adalah...
A.  Rp. 149.000,00
B.  Rp. 249.000,00
C.  Rp. 391.000,00
D.  Rp. 609.000,00
E.  Rp. 757.000,00

JAWABANNYA : C.  Rp. 391.000,00

Pembahasan ;
Biaya produksi x produk : 9.000 + 1.000x + 10x²
Biaya penjualan x produk : 5.000x

Laba = Biaya penjualan − Biaya produksi
L(x) = 5.000x − (9.000 + 1.000x + 10x²)
L(x) = 5.000x − 9.000 − 1.000x − 10x²
L(x) = −10x² + 4.000x − 9.000

Laba akan maksimum, jika :
L'(x) = 0
−20x + 4.000 = 0
⇒ x = 200

Jadi, laba akan maksimum jika perusahaan menghasilkan 200 produk, dengan laba maksimumnya adalah :
L(200) = −10(200)² + 4.000(200) − 9.000
L(200) = −400.000 + 800.000 − 9.000
L(200) = 391.000

3. Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling 

$\left(2x+24\right)$ m dan lebar $\left(8-x\right)$. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah...
A.  4 m
B.  8 m
C.  10 m
D.  12 m
E.  13 m

JAWABANNYA : C. 10 m

Pembahasan :
K = 2x + 24 = 2(x + 12)
l = 8 − x

K = 2(p + l)
2(x + 12) = 2(p + 8 − x)
x + 12 = p + 8 − x
p = 2x + 4

L = p . l
L = (2x + 4)(8 − x)
L = −2x² + 12x + 32

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
−4x + 12 = 0
⇒ x = 3

p = 2x + 4
p = 2(3) + 4
p = 10

Jadi, panjang taman agar luas maksimum adalah 10 m.

4. Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?

A.  80.000 m²
B.  40.000 m²
C.  20.000 m²
D.  5.000 m²
E.  2.000 m²

JAWABANNYA : D.  5.000 m²

Pembahasan :

Misalkan panjang area tanah p dan lebar l
Area tanah yang akan dibatasi pagar adalah (p + 2l)

Perhatikan bentuk pagar, karena kawat yang digunakan 4 baris maka
4(p + 2l) = 800
p + 2l = 200
p = 200 − 2l

L = p × l
L = (200 − 2l) × l
L = 200l − 2l²

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
200 − 4l = 0
⇒ l = 50

p = 200 − 2l
p = 200 − 2(50)
⇒ p = 100

L = p × l
L = 100 × 50
L = 5000

Jadi luas maksimum adalah 5000 m²

5. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya 

$\left(5x^2-10x+30\right)$ dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah...
A.  Rp.10.000,00
B.  Rp.20.000,00
C.  Rp.30.000,00
D.  Rp.40.000,00
E.  Rp.50.000,00

JAWABANNYA : D.  Rp.40.000,00

Pembahasan :
Biaya produksi x unit : (5x² − 10x + 30)x
Biaya penjualan x unit : 50x
(kedua biaya diatas dalam ribuan rupiah)

Keuntungan = Biaya penjualan − Biaya produksi
U(x) = 50x − (5x² − 10x + 30)x
U(x) = 50x − 5x³ + 10x² − 30x
U(x) = −5x³ + 10x² + 20x

Keuntungan akan maksimum jika :
U'(x) = 0
−15x² + 20x + 20 = 0 (bagi −5)
3x² − 4x − 4 = 0
(3x + 2)(x − 2) = 0
x = $\frac{3}{2}$ atau x = 2

Jadi, keuntungan akan maksimum jika perusahaan memproduksi 2 unit barang, dengan keuntungan maksimumnya adalah :
U(2) = −5(2)³ + 10(2)² + 20(2)

U(2) = −40 + 40 + 40

U(2) = 40  (dalam ribuan rupiah)

6. Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. Ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volume maksimum berturut-turut adalah...

A.  10 dm, 7 dm, 1 dm
B.  8 dm , 5 dm, 1 dm
C.  7 dm, 4 dm, 2 dm
D.  7 dm, 4 dm, 1 dm
E.  6 dm, 3 dm, 1 dm

JAWABANNYA : E.  6 dm, 3 dm, 1 dm

Pembahasan :

Ukuran balok :

p = 8 − 2x
l = 5 − 2x
t = x

V = plt
V = (8 − 2x)(5 − 2x) x
V = (40 − 26x + 4x²) x
V = 4x³ − 26x² + 40x

Volume akan maksimum jika :
V' = 0
12x² − 52x + 40 = 0
3x² − 13x + 10 = 0
(3x − 10)(x − 1) = 0
x = $\frac{10}{3}$ atau x = 1

Untuk x = 1, maka
p = 8 − 2x = 8 − 2(1) = 6
l = 5 − 2x = 5 − 2(1) = 3
t = x = 1

Jadi, volume akan maksimum jika panjang, lebar dan tinggi balok berturut-turut 6 dm, 3 dm, 1 dm.

7. Besar populasi di suatu daerah $t$ tahun mendatang ditentukan oleh persamaan $p\left(t\right)={10}^3{t}^2-5\cdot {10}^{2}t+{10}^6$. Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\cdots \cdot$
A. $10.500$ jiwa per tahun
B. $10.000$ jiwa per tahun
C. $9.500$ jiwa per tahun
D. $9.000$ jiwa per tahun
E. $8.500$ jiwa per tahun

JAWABANNYA : C. 9.500 jiwa pertahun  

Diketahui  $p\left(t\right)={10}^3{t}^2-5\cdot {10}^{2}t+{10}^6$.
Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang dinyatakan oleh nilai turunan pertama $p\left(t\right)$ saat $t=5$. Turunan pertamanya adalah
$p^{\prime }\left(t\right)={10}^3\left(2\right)t-5\cdot {10}^2$
Substitusi $t=5$ dan kita akan memperoleh
$\begin{array}{cc}{p}^{\prime }\left(5\right)& ={10}^3\left(2\right)\left(5\right)-5\cdot {10}^2\\ & =10.000-500=9.500\end{array}$
Jadi, laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $9.500\text{jiwa/tahun}$

8. Dua bilangan m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari 

$p=m^2+n^2$ adalah...
A.  320
B.  295
C.  280
D.  260
E.  200

JAWABANNYA : a. 320 

Pembahasan :
2m − n = 40
n = 2m − 40

p = m² + n²
p = m² + (2m − 40)²
p = m² + 4m² − 160m + 1600
p = 5m² − 160m + 1600

p akan minimum jika :
p' = 0
10m − 160 = 0
⇒ m = 16

n = 2m − 40
n = 2(16) − 40
⇒ n = −8

p = m² + n²
p = 16² + (−8)²
p = 320

9. Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter yang direncanakan untuk memagari kandang berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik seperti diperlihatkan pada gambar berikut (Sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat). Luas maksimum kandang adalah ...
A.  360 m²
B.  400 m²
C.  420 m²
D.  450 m²
E.  480 m²

JAWABANNYA :  b. 400 m2
Pembahasan :
Misalkan panjang kandang p dan lebar kandang l.

Persamaan panjang kawat yang digunakan untuk memagari kandang :
p + 4l = 80   →  p = 80 - 4l

Persamaan luas kandang :
L = pl   
L = (80 - 4l)l   
L = 80l - 4l²

Turunan pertama L terhadap l :
L' = 80 - 8l

Luas akan maksimum jika L' = 0
80 - 8l = 0
80 = 8l
l = 10

Jadi, luas akan maksimum jika l = 10, dengan luas maksimumnya adalah
L = 80(10) - 4(10)²
L = 800 - 400
L = 400

10. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal Vo m/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi $h\left(t\right)=100+40t-4t^2$. Tinggi masksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah...
A.  160 m
B.  200 m
C.  340 m
D.  400 m
E.  800 m
JAWABANNYA :  b. 200 m 
Pembahasan :
h(t) = 100 + 40t − 4t²
⇒ h'(t) = 40 − 8t

Tinggi peluru akan maksimum, jika :
h'(t) = 0
40 − 8t = 0
⇒ t = 5

Jadi, tinggi maksimum peluru dicapai pada saat t = 5, dengan tinggi maksimumnya adalah
h(5) = 100 + 40(5) − 4(5)²
h(5) = 100 + 200 − 100
h(5) = 200

DAFTAR PUSTAKA 

https://smatika.blogspot.com/2016/10/pembahasan-soal-ujian-nasional-aplikasi.html

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-turunan-fungsi-aljabar/