PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Thrilia Rachianingrum 

(35) XI IPS 2

Selasa, 09-03-2021

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

 KEMONOTONAN

    Misalkan 𝑓 terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun), kita katakan bahwa :

 1. 𝑓 naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2dalam I dimana 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) 

2. 𝑓 turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2dalam I dimana 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) 

3. 𝑓 monoton pada I jika 𝑓 naik atau turun pada I. 

Teorema A Teorema Kemonotonan 

Misalkan 𝑓 kontinu pada interval I dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I, 1. Jika 𝑓’(𝑥) > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, maka 𝑓 naik pada I.

2. Jika 𝑓’(𝑥) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, maka 𝑓 turun pada I. 

Contoh 1

 Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 – 3𝑥 2 – 12𝑥 + 7, tentukanlah dimana f naik dan dimana f turun! Penyelesaian: Berdasarkan teorema A (teorema kemonotonan), maka perlu dicari 𝑓′(𝑥), yaitu

 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 2– 6𝑥– 12 = 6(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 

Untuk menentukan dimana 𝑓′(𝑥) > 0 dan dimana 𝑓′(𝑥) < 0,

 misalkan 𝑓′(𝑥) = 0, sehingga 6𝑥 2– 6𝑥– 12 = 0 atau 6(𝑥 + 1)(𝑥– 2) = 0 , 

dengan demikian diperoleh titik pemecah 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 2 yang akan membagi garis bilangan real menjadi tiga interval yaitu (−∞, −1), (−1, 2) dan (2, ∞). 

INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa fungsi f(x) naik pada interval $x<a$ atau $x>b$ dan turun pada interval $a<x<b$

Selain dengan melihat secara visual pada grafik, interval naik atau turunnya suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi tersebut.

1. Jika f '(x) > 0 untuk semua x yang berada pada interval I, maka f naik pada I.
2. Jika f '(x) < 0 untuk semua x yang berada pada interval I, maka f turun pada I.

Contoh 1
Jika f(x) = x² − 6x + 8, tentukan interval f(x) naik dan interval f(x) turun!

Jawab :
f '(x) = 2x − 6

f(x) naik ⇒ f '(x) > 0
⇔  2x − 6 > 0
⇔  2x > 6
⇔  x > 3

f(x) turun ⇒ f '(x) < 0
⇔  2x − 6 < 0
⇔  2x < 6
⇔  x < 3

Jadi f(x) naik pada interval x > 3 dan turun pada interval x < 3.

Contoh 2
Fungsi f(x) = 2x³ − 3x² − 36x naik pada interval ...

Pembahasan :
f '(x) = 6x² − 6x − 36

f(x) naik  ⇒ f '(x) > 0
⇔  6x² − 6x − 36 > 0

Pembuat nol :
6x² − 6x − 36 = 0
x² − x − 6 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0
x = −2  atau x = 3

Jadi f(x) naik pada interval x < −2 atau x > 3


Contoh 3
Fungsi f(x) = x⁴ − 8x³ + 16x² + 1 turun pada interval ...

Pembahasan :

f '(x) = 4x³ − 24x² + 32x

f(x) turun  ⇒ f '(x) < 0
⇔  4x³ − 24x² + 32x < 0

Pembuat nol :
⇔  x³ − 6x² + 8x = 0
⇔  x (x² − 6x + 8) = 0
⇔  x (x − 2)(x − 4) = 0
⇔  x = 0 atau x = 2 atau x =4

Jadi f(x) turun pada interval $x<0$ atau $2<x<4$

KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Kecekungan

Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Definisi Kecekungan

Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

---

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

---

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

DAFTAR PUSTAKA 

https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/

https://lmsspada.kemdikbud.go.id/pluginfile.php/54570/mod_resource/content/1/PENERAPAN%20TURUNAN.pdf

https://smatika.blogspot.com/2016/04/menentukan-interval-fungsi-naik-dan_24.html