SOAL TRANSFORMASI DAN PENYELESAIANNYA

Posting gambar dan perhitungan bayangan 1 titik, 1 garis, 1 persegi panjang, 1 kubus yang di transpormasi oleh translasi, dilatasi, refleksi dan rotasi 

Thrilia Rachianingrum 

XI IPS 2 

36 

1. Bayangan kurva , oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu

 y, adalah ….Pembahasan:

Matriks transformasi oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2:

  

Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y:

  

Matriks transformasi dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y:

  

Matriks transformasi untuk menentukan bayangan:

  

  

Sehingga diperoleh dua persamaan:

  

  

Jadi, bayangan kurva  oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y adalah

  

  

$\mathrm{2.\; Diketahui\; titik\; A(3,\; -2)\; dipetakan\; oleh\; translasi\; T\; = \; [}$$\mathrm{1-2][1-2],\; kemudian\; dilanjutkan\; oleh\; rotasi\; dengan pusat\; O(0,\; 0)\; sejauh\; 90°.\; Koordinat\; titik\; hasil\; peta\; A\; adalah\; ...Pembahasan=Bayangan\; titik\; A(3,\; -2)\; oleh\; translasi [1-2][1-2] adalah[x\prime y\prime ]=[3-2]+[1-2][x\prime y\prime ]=[3-2]+[1-2][x\prime y\prime ]=[4-4][x\prime y\prime ]=[4-4]dilanjutkan\; rotasi\; dengan\; pusat\; O\; sejauh\; 90°\; :[x\prime \prime y\prime \prime ]=[cos90\circ -sin90\circ sin90\circ cos90\circ ][x\prime y\prime ][x″y″]=[cos90\circ -sin90\circ sin90\circ cos90\circ ][x\prime y\prime ][x\prime \prime y\prime \prime ]=[0-110][4-4][x″y″]=[0-110][4-4][x\prime \prime y\prime \prime ]=[44][x″y″]=[44]Jadi,\; koordinat\; titik\; hasil\; peta\; adalah\; (4,\; 4)}x+y-1=0$

$\mathrm{3.\; Diketahui\; koordinat\; titik\; P}$$($$-$$8$$,$$12$$)$$P(-8,12)$. Dilatasi $[$$P$$,$$1$$]$$[P,1]$ memetakan titik $($$-$$4$$,$$8$$)$$(-4,8)$ ke titik $\cdots$$\cdot$$\cdots \cdot$$<br>$$$
Konsep dilatasi: Jika titik $($$x$$,$$y$$)$$(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $($$a$$,$$b$$)$$(a,b)$ dan faktor skala $k$$k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $($$k$$($$x$$-$$a$$)$$+$$a$$,$$k$$($$y$$-$$b$$)$$+$$b$$)$$(k(x-a)+a,k(y-b)+b)$.
Bayangan titik $($$-$$4$$,$$8$$)$$)$$(-4,8))$ setelah didilatasikan dengan pusat $($$-$$8$$,$$12$$)$$(-8,12)$ dan faktor skala $1$$1$ adalah$($$1$$($$-$$4$$-$$($$-$$8$$)$$)$$+$$($$-$$8$$)$$,$$1$$($$8$$-$$12$$)$$+$$12$$)$$(1(-4-(-8))+(-8),1(8-12)+12)$ $=$$($$-$$4$$,$$8$$)$$=(-4,8)$ 
Dilatasi $[$$P$$,$$1$$]$$[P,1]$ memetakan titik $($$-$$4$$,$$8$$)$$(-4,8)$ ke titik $($$-$$4$$,$$8$$)$$\boxed{{\displaystyle <span\; style="font-family:\; times;"><br></span>}}$$\boxed{{\displaystyle <span\; style="font-family:\; times;"><br></span>}}$

$4. Bayangan kurva  jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah …. Pembahasan:Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x:  Matriks transformasi dilatasi pusat O dan faktor skala 2:  Matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2:  Matriks transformasi untuk menentukan bayangan:    Sehingga diperoleh dua persamaan:    Jadi, bayangan kurva  jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah    5. Garis y = -3x + 1 diputar dengan  kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Persamaan bayangannya adalah ….Pembahasan:Matriks transformasi oleh rotasi dengan R(O, 90o):  Matriks transformasi oleh pencerminan terhadap sumbu x:  Matriks transformasi oleh rotasi dengan R(O, 90o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x:  Matriks transformasi untuk menentukan bayangan:    Sehingga diperoleh dua persamaan:    Jadi, bayangan kurva y = -3 x + 1 oleh rotasi R(O, 90o kemudian dicerminkan terhadap sumbu x adalah      6. Bayangan titik P(a,b) oleh rotasi terhadap titik pusat (0,0) sebesar −90∘ adalah P′(−10,−2). Nilai a+2b=⋯⋅Konsep rotasi:Koordinat bayangan titik (x,y)(x,y) bila dirotasikan pada pusat (0,0)(0,0) sebesar sudut θθ berlawanan jarum jam adalah(x′y′)=(cosθ−sinθsinθcosθ)(xy)(x′y′)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(xy) Untuk (x′,y′)=(−10,−2)(x′,y′)=(−10,−2) dan θ=−90∘θ=−90∘, diperoleh(−10−2)=(cos(−90∘)−sin(−90∘)sin(−90∘)cos(−90∘))(xy)(−10−2)=(01−10)(xy)(−10−2)=(y−x)(−10−2)=(cos⁡(−90∘)−sin⁡(−90∘)sin⁡(−90∘)cos⁡(−90∘))(xy)(−10−2)=(01−10)(xy)(−10−2)=(y−x)Diperoleh y=−10y=−10 dan x=2x=2. Dengan demikian, koordinat titik PP adalah (2,−10(2,−10). Untuk itu, a=2a=2 dan b=−10b=−10, sehingga a+2b=2+2(−10)=−18a+2b=2+2(−10)=−187. Persamaan bayangan kurva y = 3x2 + 2x − 1 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y adalah ...Misalkan :T1 = matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu X.T2 = matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu Y.T = T2 o T1T1=[100−1]T1=[100−1]  dan  T2=[−1001]T2=[−1001]T=[−1001][100−1]=[−100−1]T=[−1001][100−1]=[−100−1]Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T adalah :[x′y′]=[−100−1][xy][x′y′]=[−100−1][xy][x′y′]=[−x−y][x′y′]=[−x−y]Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :x' = -x  ↔  x = -x'y' = -y  ↔  y = -y'Substitusi x dan y ke persamaan kurva :y = 3x2 + 2x − 1⇒  (-y') = 3(-x')2 + 2(-x') − 1⇔  -y' = 3(x')2 − 2x' − 1⇔  y' = −3(x')2 + 2x' + 1Jadi, persamaan bayangan kurva adalah :y = −3x2 + 2x + 18. Bayangan titik AA dengan A(−1,4)A(−1,4) jika direfleksikan terhadap garis y=−xy=−x adalah ⋯⋅⋯⋅Apabila titik A(x,y)A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=−xy=−x, maka bayangan titik AA adalah A′=(−y,−x)A′=(−y,−x). Jadi, bayangan titik A(−1,4)A(−1,4) adalah A′(−4,1)A′(−4,1).$

9.Perhatikan grafik berikut.

Salah satu translasi yang dapat memindahkan garis $g$ ke garis $l$ adalah $\cdots \cdot$

Secara geometri, kita dapat melakukan translasi pada titik ke titik yang dilalui masing-masing garis tersebut.
Dari titik $(-2,0)$ bergeser $5$ satuan ke kanan $(+5)$ menuju titik $(3,0)$ sehingga translasi yang sesuai adalah $\left[\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right]$.
Selain itu, bisa juga dari titik $(0,4)$ lalu digeser ke bawah sejauh $4$ satuan $(-4)$ dan $3$ satuan ke kanan $(+3)$ menuju titik $(3,0)$ sehingga translasi yang sesuai adalah $\left[\begin{array}{c}3\\ -4\end{array}\right]$.

10. Persamaan bayangan garis 2 ditransformasikan oleh matriks $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$

Bayangan titik $(x,y)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema:
$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\stackrel{\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)}{\to }\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left[\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\right]\\ & =\left(\begin{array}{c}x+y\\ x+2y\end{array}\right)\end{array}$
Transformasi titik dilanjutkan oleh pencerminan (refleksi) terhadap sumbu-$X$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}x+y\\ x+2y\end{array}\right)\stackrel{R_x}{\to }\left(\begin{array}{c}x+y\\ -x-2y\end{array}\right)\end{array}$ 
Diperoleh $x^{\prime \prime }=x+y$ dan $y^{\prime \prime }=-x-2y$. 
Dengan menggunakan konsep penyelesaian SPLDV, diperoleh 
$\{\begin{array}{c}-y=x^{\prime \prime }+y^{\prime \prime }\\ x=2x^{\prime \prime }+y^{\prime \prime }\end{array}$
Substitusikan ke $2x+y-1=0$, sehingga diperoleh
$\begin{array}{cc}2(2x^{\prime \prime }+y^{\prime \prime })-(x^{\prime \prime }+y^{\prime \prime })-1& =0\\ 3x^{\prime \prime }+y^{\prime \prime }-1& =0\end{array}$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni $3x+y-1=0$