SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Thrilia Rachianingrum

XI IPS 2 (35)

Sifat-Sifat Limit Fungsi dan Contohnya

    Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut :

1. lim _x →a c = c
2. lim _x →a  xⁿ = aⁿ
3. lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)
4. lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x)
5. lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)
6. lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))
7. lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ
8. lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

1. Contoh sifat lim _x →a c = c

- Tentukan nilai lim _x →2 7 !!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

c = 7

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c = c, maka :

lim _x →2 7 = 7

Jadi nilai dari lim _x →2 7 adalah 7

2. Contoh sifat lim _x →a  xⁿ = aⁿ 

- Tentukan nilai lim _x →2 x³ !!!

Jawab :

Dik :

a = 2

n = 3

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a xⁿ = aⁿ , maka :

lim _x →2 x³ = 2³

lim _x →2 x³ = 8

Jadi nilai dari lim _x →2 x³ adalah 8

3. Contoh sifat lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)

-Tentukan nilai lim _x →2 4( x + 2 ) !!!

Jawab :

Dik :

a = 2 

c = 4

f(x) = ( x + 2 )

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 ( 2 + 2 ))

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 4)

lim _x →2 4( x + 2 ) = 16

Jadi nilai lim _x →2 4( x + 2 ) adalah 16

4. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x) 

-Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = lim _x →2 x³ + lim _x →a x⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 8  + 16

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 24

Jadi nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) adalah 24

5. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)

-Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ . x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ . x⁴) = lim _x →2 x³ . lim _x →2 x⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  2³ . 2⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  8 . 16

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  128

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x³ . x⁴) adalah  128

6. Contoh sifat lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))

-Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ / x³) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x⁴

g(x) = x³

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x →a ( f(x)/g(x)) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x)), maka :

lim _x →2 ( x⁴/x³) = (lim _x →2 x⁴)/(lim _x →2 x³)

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 16/8

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴/x³) adalah 2

7. Contoh sifat lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ

-Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ + 1)² !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴ + 1

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ, Maka :

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (lim _x →2 x⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (16 + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 17²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 289

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴ + 1)² adalah 289

8. Contoh sifat lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

-Tentukan nilai lim _x →2²√x⁴ !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2²√x⁴ = ²√lim _x →2 x⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√2⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√¹⁶

lim _x →2²√x⁴ = 4

SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Soal Cerita 1

    Seekor lebah diamati sedang hinggap di tanah pada sebuah lapangan. Pada suatu saat, lebah tersebut diamati terbang membentuk sebuah lintasan parabola. Setelah terbang selama 1 menit, lebah tersebut telah mencapai ketinggian maksimum sehingga ia terbang datar setinggi 5 meter selama 1 menit. Pada menit berikutnya, lebah tersebut terbang menukik lurus ke tanah sampai mendarat kembali pada akhir menit ketiga.

Coba kamu modelkan fungsi lintasan lebah tersebut!

Cobalah kamu tunjukkan grafik lintasan terbang lebah tersebut.

Jadi, model fungsi lintasan lebah tersebut berdasarkan gambar di atas adalah:

dengan a, b, c, m, n bilangan real. Dari ilustrasi, diperoleh data sebagai berikut.

Misalkan posisi awal lebah pada saat hinggap di tanah adalah posisi pada waktu t = 0 dengan ketinggian 0, disebut titik awal O(0,0),

Kemudian lebah terbang mencapai ketinggian maksimum 5 meter pada waktu t = 1 sampai t = 2, di titik A(1,5) dan B(2,5).

Pada akhir waktu t = 2, lebah kembali terbang menukik sampai hinggap kembali di tanah dengan ketinggian 0, di titik C(3,0).

Berdasarkan data tersebut, kita akan menentukan fungsi lintasan lebah, dengan langkah-langkah berikut.

1. Substitusi titik O(0,0) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh c = 0.
2. Substitusi titik A(1,5) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh a + b + c = 5, karena c = 0, maka a + b = 5.
3. Karena fungsi kuadrat mencapai maksimum pada saat t = 1 maka

atau 1 b = –2a.

4. Dengan mensubstitusi b = –2a ke a + b = 5 maka diperoleh a = –5 dan b = 10.
5. Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(t) = –5t 2 + 10t.
6. Lebah tersebut terbang konstan pada ketinggian 5 maka fungsi lintasan tersebut adalah f(t) = 5.
7. Substitusi titik B(2,5) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 5 = 2m + n.

8 Substitusi titik C(3,0) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 0 = 3m + n atau n = –3m.

9. Dengan mensubstitusi n = –3m ke 5 = 2m + n maka diperoleh m = – 5 dan n = 15.
10. Fungsi linear yang dimaksud adalah f(t) = –5t + 15.

Dengan demikian, model fungsi lintasan lebah tersebut adalah:

Selanjutnya limit fungsi pada saat t = 1 dan t = 2 dapat dicermati pada tabel berikut.

Dari pengamatan pada tabel, dapat kita lihat bahwa y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 1 dan y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 2. Perhatikan strategi lainnya. Mari perhatikan nilai fungsi pada t mendekati 1 dari kiri dan kanan, sebagai berikut:

• Untuk t mendekati 1
  lim->1- -5t^2+10t = 5(disubtitusikan)
  lim->1+ 5 = 5 (karena sudah pasti)
  
  

• Untuk t mendekati 2
  lim->2- 5 = 5 (karena sudah pasti)
  lim-2+ -5t+15 = 5 (disubtitusikan)
  berarti dapat dinyatakan lim->2+ 5= lim->2- -5t^2+10t
  sehingga fungsi lintasan tawon mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 2

Soal Cerita 2

    Tiga anak (sebut nama mereka: Ani, Budi dan Candra) sedang bermain tebak angka. Ani memberikan pertanyaan dan kedua temannya akan berlomba memberikan jawaban yang terbaik. Perhatikanlah percakapan mereka berikut.

Alternatif Penyelesaian

    Kedua teman Ani berlomba memberikan jawaban bilangan terdekat ke 3, seperti pada Gambar 10.4. Pada awalnya Budi dan Candra mengambil bilangan yang terdekat ke 3 dari kiri dan kanan sehingga mereka menjawab 2 dan 4. Ternyata masih ada bilangan real lain yang terdekat ke 3, sehingga Budi harus memberi bilangan yang lebih dekat lagi ke 3 dari kiri, maka Budi menyebut 2,5.

     Hal ini membuat Candra ikut bersaing untuk mencari bilangan lain, sehingga ia menjawab 3,5. Demikianlah mereka terus-menerus memberikan jawaban sebanyak mungkin sampai akhirnya mereka menyerah untuk mendapatkan bilangan-bilangan terdekat ke-3.

    Berdasarkan pemahaman kasus ini, ternyata ketidakmampuan teman-teman Ani untuk menyebutkan semua bilangan tersebut telah membuktikan bahwa begitu banyak bilangan real di antara bilangan real lainnya. Jika dimisalkan x sebagai variabel yang dapat menggantikan jawaban-jawaban Budi dan Candra maka x akan disebut bilangan yang mendekati 3 (secara matematika, dituliskan x → 3).

DAFTAR PUSTAKA

https://passinggrade.co.id/limit-fungsi/#Contoh_limit_fungsi

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/sifat-sifat-limit-fungsi-dan-contohnya.html

MATERI LIMIT DAN LIMIT FUNGSI ALJABAR

Thrilia Rachianingrum

XI IPS 2 (35) 

A. Konsep Limit Fungsi Aljabar

   Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit.

Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan:

Maksudnya, apabila x mendekati a namun x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan sisi kanan atau dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga menghasilkan limit kiri dan limit kanan.

Toerema / Pernyataan:

Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit apabila antara limit kiri dan limit kananya mempunyai besar nilai yang sama dan apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama maka nilai limitnya tidak ada.

B. Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.

C. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

Bentuk kedua

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran.

1. Cara Substitusi

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya. Berikut adalah beberapa contoh yang dapat dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 4:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 5:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari,

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 6:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 7:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

2. Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Berikut beberapa contoh untuk dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 4:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 5:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang kedua ada beberapa cara dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan.

1. Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut

contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang  dan penyebut dalam soal ini adalah 2, maka

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 3, maka

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 3, maka

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

2. Metode mengalikan dengan faktor sekawan

 Contoh soal:

Tentukan nilai limit dari

 

 

Langkah awal yang perlu dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit yaitu dengan mensubtitusikan x=c ke f(x), sehingga dalam kasus ini substitusikan
x=4 ke 

Setelah disubstitusikan ternyata nilai limit tersebut tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak tentu. Maka dari itu untuk menentukan nilai suatu limit harus menggunakan metode lain.  Apabila diperhatikan, pada f(x) terdapat bentuk akar yaitu sehingga metode perkalian dengan akar sekawaran dapat dilakukan pada kasus seperti ini.

 

Bentuk dapat difaktorkan menjadi 

Jadi, nilai limit fungsi aljabar tersebut adalah -4

DAFTAR PUSTAKA 

http://bunyan.co.id/materi-limit-fungsi-aljabar/